Einführung in QUADPACK (Maxima Manual)

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#### 16.3.3 Einführung in QUADPACK

QUADPACK ist eine Sammlung von Funktionen für die numerische Berechnung von eindimensionalen bestimmten Integralen. QUADPACK hat den Ursprung in einem Projekt von R. Piessens 1, E. de Doncker 2, C. Ueberhuber 3, und D. Kahaner 4.

Die QUADPACK-Bibliothek, die in Maxima enthalten ist, ist eine automatische Übersetzung des Fortran Quellcodes mit dem Programm `f2cl` wie er in der SLATEC Common Mathematical Library, Version 4.1 5 vorliegt. Die SLATEC Bibliothek datiert auf Juli 1993. Die QUADPACK Funktionen wurden bereits einige Jahre früher programmiert. Es gibt eine weitere Version von QUADPACK bei Netlib 6. Es ist jedoch unklar worin sich diese von der SLATEC Version unterscheidet.

Alle QUADPACK-Funktionen versuchen automatisch, ein bestimmtes Integral numerisch innerhalb eine spezifizierten Genauigkeit zu berechnen. Die Übersetzung nach Lisp enthält einige weitere nicht-automatische Funktionen, die jedoch nicht als Maxima Funktionen zur Verfügung stehen.

Weitere Informationen über das QUADPACK-Paket sind in dem QUADPACK-Buch 7 enthalten.

#### Übersicht über die Integrationsroutinen

`quad_qag`

  Integration einer allgemeinen Funktion über ein endliches Intervall. `quad_qag` implementiert einen globalen adaptiven Integrator auf Grundlage der Strategie von Aind (Piessens, 1973). Es kann aus 6 verschiedenen Paaren von Gauß-Kronrad-Quadraturformeln ausgewählt werden. Die Formeln höheren Grades sind für stark oszillierende Integranden geeignet.

`quad_qags`

  Integration einer allgemeinen Funktion über ein endliches Intervall. Die Funktion `quad_qags` implementiert die Strategie einer globalen adaptiven Unterteilung des Integrationsintervalls mit Extrapolation (de Doncker, 1978). Zusätzlich wird versucht, die Konvergenz der Integralapproximation mit Hilfe des Epsilon-Algorithmus (Wynn, 1956) zu beschleunigen. Dies führt zum Beispiel bei Integranden mit Singularitäten, deren Lage und Typ unbekannt sind, zu einer Effizienzsteigerung.

`quad_qagi`

  Die Funktion `quad_qagi` führt die Integration einer allgemeinen Funktion über ein unendliches oder halb-unendliches Intervall aus. Das Intervall wird auf ein endliches Intervall transformiert. Das transformierte Integrationsproblem wird dann mit einer geringfügig modifizierten Algorithmus wie in `quad_qags` gelöst.

`quad_qawo`

  Berechnung von Integralen mit den trigonometrischen Gewichtsfunktionen cos(omega x) f(x) oder sin(omega x) f(x) über ein endliches Intervall, wobei omega eine Konstante ist. Der Algorithmus der Funktion `quad_qawo` zur basiert auf eine modifizierte Clenshaw-Curtis-Technik. `quad_qawo` wendet eine adaptive Unterteilung des Integrationsintervalls mit Extrapolation an, die vergleichbar mit dem Algorithmus von `quad_qags` ist. Zusätzlich wird versucht, die Konvergenz der Integralapproximation mit Hilfe des Epsilon-Algorithmus (Wynn, 1956) zu beschleunigen.

`quad_qawf`

  Die Funktion `quad_qawf` berechnet die Sinus- oder Kosinus-Fouriertransformation über ein halb-unendliches Intervall. Dabei wird die global adaptive Routine `quad_qawo` sukzessive auf endliche Teilintervalle angewendet. Zur Konvergenzbeschleunigung der resultierenden alternierenden Reihe wird der Epsilon-Algorithmus (Wynn, 1956) verwendet.

`quad_qaws`

  Integration von w(x) f(x) über ein endliches Intervall [a, b], wobei w eine Funktion der Form (x - a)^alpha (b - x)^beta v(x) ist und v(x) ist 1 oder log(x - a) oder log(b - x) oder log(x - a) log(b - x), und alpha > -1 und beta > -1. `quad_qaws` ist speziell für die effiziente Berechnung von Integralen über endliche Intervalle mit algebraischen oder algebraisch-logarithmischen Endpunktsingularitäten konzipiert. Eine globale adaptive Strategie mit Unterteilung des Integrationsintervalls wird angewendet. Auf Teilintervalle die keinen Endpunkt des Integrationsintervalls enthalten, kommt ein Gauß-Kronrod-Formelpaar und auf Randintervallen kommen modifizierte Clenshaw-Curtis-Formeln zur Anwendung.

`quad_qawc`

  Die Funktion `quad_qawc` berechnet den Cauchyschen Hauptwert von f(x)(x - c) über ein endliches Intervall (a, b) und dem Wert c. Es wird eine modifizierte Clenshaw-Curtis-Formel angewendet, wenn c im Teilbereich enthalten ist. Andernfalls wird eine globale adaptive Strategie mit einem Gauß-Kronrod-Formelpaar angewendet.

`quad_qagp`

  Basically the same as `quad_qags` but points of singularity or discontinuity of the integrand must be supplied. This makes it easier for the integrator to produce a good solution.

#### Fußnoten

##### (1)

Applied Mathematics and Programming Division, K.U. Leuven

##### (2)

Applied Mathematics and Programming Division, K.U. Leuven

##### (3)

Institut für Mathematik, T.U. Wien

##### (4)

National Bureau of Standards, Washington, D.C., U.S.A

##### (5)

http://www.netlib.org/slatec

##### (6)

http://www.netlib.org/quadpack

##### (7)

R. Piessens, E. de Doncker-Kapenga, C.W. Uberhuber, and D.K. Berlin: Springer-Verlag, 1983, ISBN 0387125531.

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