Einführung in Polynome (Maxima Manual)

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### 17.1 Einführung in Polynome

Polynome werden in einer allgemeinen Darstellung oder in einer kanonischen Darstellung (CRE - Cannonical Rational Expressions) gespeichert. Die CRE-Darstellung ist die Standardform für Operationen mit Polynomen und wird intern von Funktionen wie `factor` oder `ratsimp` verwendet.

Ausdrücke in einer CRE-Form sind besonders für die Darstellung von Polynomen und rationalen Funktionen geeignet. Die CRE-Form nimmt eine Ordnung der Variablen an. Polynome werden rekursiv als eine Liste definiert, die als ersten Eintrag den Namen der Variablen und als nächste Einträge die Exponenten und Koeffizienten der Variablen enthalten. Der Koeffizient kann eine Zahl oder wiederum ein Polynom sein. Zum Beispiel hat das Polynom `3*x^2-1` die Darstellung `(X 2 3 0 -1)` und das Polynom `2*x*y+x-3` die Darstellung `(Y 1 (X 1 2) 0 (X 1 1 0 -3))`, wenn `y` die Hauptvariable des Polynoms ist. Ist x die Hauptvariable des Polynoms, dann ist die Darstellung `(X 1 (Y 1 2 0 1) 0 -3)`.

Die Ordnung der Variablen ist in der Regel umgekehrt alphabetisch. Die Variablen müssen keine Atome sein. Alle Ausdrücke, die nicht die Operatoren `+`, `-`, `*`, `/` oder `^` enthalten, werden in einer CRE-Darstellung als "Variable" angenommen. Zum Beispiel sind `x`, `sqrt(x)` und `sin(x+1)` die CRE-Variablen des Ausdrucks `x+sin(x+1)+2*SQRT(x)+1`. Wird vom Nutzer keine abweichende Ordnung der Variablen mit der Funktion `ratvars` definiert, nimmt Maxima eine alphabetische Ordnung der Variablen an.

Im Allgemeinen werden rationale Funktionen in einer CRE-Form dargestellt, die keinen gemeinsamen Faktor im Zähler und Nenner haben. Die interne Darstellung ist ein Paar von Polynomen, die jeweils den Zähler und den Nenner darstellen. Diesem Paar geht eine Liste mit der Ordnung der Variablen im Ausdruck voraus. Ein Ausdruck in einer CRE-Form oder der CRE-Formen enthält, wird in der Ausgabe mit dem Symbol `/R/` gekennzeichnet. Mit der Funktion `rat` können allgemeine Ausdrücke in eine CRE-Form transformiert werden. Umgekehrt wird ein Ausdruck in einer CRE-Form mit der Funktion `ratdisrep` in eine allgemeine Form transformiert.

Für die Darstellung von Taylor-Polynomen der Funktion `taylor` wird eine erweiterte CRE-Form verwendet. In dieser Darstellung können die Exponenten von Polynomen auch rationale Zahlen sein. Weiterhin können die Koeffizienten rationale Funktionen sein. Die erweiterte CRE-Form enthält auch Informationen über den Grad des Polynoms. In der Ausgabe wird die erweiterte CRE-Form mit dem Symbol `/T/` bezeichnet.

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